Sistem Persamaan (Linear dan Kuadrat)

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

→ mengandung 2 variabel berpangkat 1
Bentuk umum:

dimana a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, dan c₂ adalah bilangan real
Catatan:

Penyelesaian:

1. Metode grafik
2. Metode substitusi
3. Metode eliminasi
4. Metode gabungan substitusi-eliminasi

Contoh:

Metode grafik:
→ gambar grafik untuk tiap persamaan, cara paling mudah: masukkan x = 0, hitung nilai y untuk mendapatkan titik pertama; lalu masukkan y = 0, hitung nilai x untuk mendapatkan titik kedua
→ jika saat dimasukkan x = 0, didapatkan nilai y = 0, untuk mendapatkan titik kedua masukkan nilai x selain 0


Metode substitusi:
Dari persamaan 1: 2x – y = 8 → 2x – 8 = y
Masukkan ke persamaan 2:
x + 2y = 14
x + 2.(2x – 8 ) = 14
x + 4x – 16 = 14
5x = 14 + 16
5x = 30
x = 30/5 = 6
y = 2x – 8 = 2.6 – 8 = 12 – 8 = 4
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode eliminasi:
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x –   y = 8
2x + 4y = 28  –  (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Eliminasi y: (Persamaan 1 dikali 2)
4x – 2y = 16
  x + 2y = 14   +  (ditambah karena nilai y-nya positif dan negatif)
5x = 30
x = 30/5 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode gabungan (eliminasi-substitusi)
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x –   y = 8
2x + 4y = 28  –  (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Masukkan ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 1:
2x – y = 8
2x – 4 = 8
2x = 8 + 4
2x = 12
x = 12/2 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Bentuk umum:

dimana a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃, d₁, d₂ dan d₃ adalah bilangan real
Penyelesaian:
→ Eliminasi salah satu variabel dari sistem sehingga mernjadi SPLDV (misal: dari persamaan 1 dan 2 eliminasi x, persamaan 1 dan 3 atau 2 dan 3 juga eliminasi x)
Contoh:

Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2 (persamaan 1 dikali 2):
2x + 2y + 2z = 12
2x + 3y – 2z =   2  (+)
4x + 5y = 14 …… Persamaan 4
Eliminasi z dari persamaan 1 dan 3:
x +   y + z = 6
3x – 2y + z = 2   (–)
–2x + 3y = 4 …… Persamaan 5
Eliminasi x dari persamaan 4 dan 5 (persamaan 5 dikali 2):
4x + 5y = 14
–4x + 6y =   8   (+)
11y = 22
y = 22/11 = 2
Masukkan y ke persamaan 5:
–2x + 3y = 4
–2x + 3.2 = 4
–2x + 6 = 4
–2x = 4 – 6
–2x = –2
x = –2/–2 = 1
Masukkan x dan y ke persamaan 1:
x + y + z = 6
1 + 2 + z = 6
z = 6 – 1 – 2 = 3
Jadi penyelesaiannya: {(1, 2, 3)}

Sistem Persamaan Linear Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)

Bentuk Umum:

Penyelesaian:
→ Substitusi persamaan 1 ke 2 diperoleh:
mx + n = ax² + bx + c
ax² + (b –m)x + (c – n) = 0
Nilai diskriminannya: D = b² – 4.a.c = (b – m)² – 4.a.(c – n)

• D > 0 → SPLKV mempunyai 2 akar (penyelesaian) nyata
• D = 0 → SPLKV mempunyai 1 akar (penyelesaian) nyata
• D < 0 → SPLKV tidak mempunyai akar (penyelesaian) nyata

→ Dapat juga diselesaikan dengan grafik
Contoh:

Substitusi persamaan 1 ke 2
2 – x = x²
x² + x – 2 = 0
(x + 2).(x – 1) = 0
x + 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = –2 atau x = 1
untuk x = –2 → y = 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 (nilai x juga dapat dimasukkan ke persamaan 2)
untuk x = 1 → y = 2 – 1 = 1
Jadi penyelesaiannya: {(–2, 4), (1, 1)}
Grafik:
→ cara menggambar grafik fungsi kuadrat: lihat di bab FUNGSI KUADRAT
→ cara menggambar garis: lihat di bagian SPLDV

Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)

Bentuk umum:

Penyelesaian:
→ Jika persamaan 1 = persamaan 2, maka SPK mempunyai banyak penyelesaian
→ Jika persamaan 1 ≠ persamaan 2, maka substitusi persamaan 1 ke 2, sehingga diperoleh:
ax² + bx + c = px² + qx + r
(a – p)x² + (b – q)x + (c – r) = 0
Hitung nilai Diskriminan: D = (b – q)² – 4.(a – p).(c – r)

• D > 0 → SPK mempunyai 2 akar (penyelesaian) real
• D = 0 → SPK mempunyai 1 akar (penyelesaian) real
• D < 0 → SPK tidak mempunyai akar (penyelesaian) real

→ dapat juga diselesaikan dengan cara grafik
Contoh 1:

Substitusi persamaan1 ke 2:
x² – 2x – 3 = –x² – 2x – 5
x² – 2x – 3 + x² + 2x + 5 = 0
2x² + 2 = 0
Semua dibagi 2:
x² + 1 = 0
Karena persamaan tidak dapat difaktorkan, hitung nilai D:
D = b² – 4.a.c = 0² – 4.1.1 = a – 4
Karena D < 0 maka SPK tidak mempunya penyelesaian real
Grafik:
→ Cara menggambar grafik fungsi kuadrat: lihat di bab FUNGSI KUADRAT

Contoh 2:

Substitusi persamaan 1 ke 2:
x² – 2x = –1/2 x² + 4x – 6
Semua dikalikan 2:
2x² – 4x = –x² + 8x – 12
2x² – 4x + x² – 8x + 12 = 0
3x² – 12x + 12 = 0
Semua dibagi 3:
x² – 4x + 4 = 0
(x – 2).(x – 2) = 0
x = 2 → y = x² – 2x = 2² – 2.2 = 4 – 4 = 0
Jadi penyelesaiannya: {(2, 0)}
Grafik: